究竟什么是“數(shù)學(xué)思維”?
廈門心理咨詢-德仁心心理咨詢：究竟什么是“數(shù)學(xué)思維”?
仰望星空、腳踏實(shí)地
我是數(shù)學(xué)系畢業(yè)的。很慚愧，具體數(shù)學(xué)公式忘得差不多了，大學(xué)的很多題目都不會(huì)做了。但幸運(yùn)的是，很多思維方式卻留下來了，影響了我的工作和生活。
1、先確定存在性、可行性，再求解。
數(shù)學(xué)家經(jīng)常研究解的存在性、求解的可行性。這種思維方式對(duì)我影響很大。建立數(shù)學(xué)模型的時(shí)候，很多人的想法都是：“如果精度足夠高，則如何如何”。我建模型的思維方式則是：先設(shè)法研究一下，精度的極限能有多高；如果精度就是這么高，該如何辦？很多人沒有這樣思考，去做了做不成的事，花了大量冤枉時(shí)間。我很喜歡孔子的話：“從心所欲不逾矩”：知道什么做不成，才能做什么成什么。
2、注重發(fā)展。
學(xué)過微積分的人都知道導(dǎo)數(shù)。在一個(gè)局部，導(dǎo)數(shù)對(duì)函數(shù)值的影響不大，是“一階無窮小”。但是，一旦離開這個(gè)局部的空間、向外擴(kuò)張，“無窮小”就變成了“無窮大”。 我知道這個(gè)道理，就很少計(jì)較眼前的得失，而更關(guān)心一件事對(duì)未來發(fā)展的影響。找工作、選項(xiàng)目都是這樣。。
3、線性與非線性
我知道，線性關(guān)系往往意味著局部成立的關(guān)系；或者說：局部函數(shù)關(guān)系往往可以近似為線性。知道這個(gè)道理，做研究的時(shí)候就會(huì)有的放矢。很多人用復(fù)雜的非線性模型建立局部模型、做了很多無用功。我很少走這樣的彎路。當(dāng)然，這條“彎路”可以用來發(fā)論文，但這卻是我不恥的事情。“凡事有度，過猶不及”。其實(shí)，這就是數(shù)學(xué)中所述的非線性，其實(shí)也是道德經(jīng)的精髓。在我看來，道德經(jīng)講的是大道，是大的時(shí)空發(fā)展的規(guī)律、是認(rèn)識(shí)遭遇邊界的表現(xiàn)。局部是線性的，大范圍內(nèi)就是非線性的;要發(fā)展就要突破認(rèn)知的邊界。
4、追求簡單
學(xué)數(shù)學(xué)以后，對(duì)問題的復(fù)雜性有了很深的認(rèn)識(shí)，知道復(fù)雜的東西想不清、容易出錯(cuò)。所以，我搞技術(shù)一直強(qiáng)調(diào)復(fù)雜問題簡單化。追求簡單的一個(gè)方面，是追求抽象、探求事物的本質(zhì)、進(jìn)而關(guān)注結(jié)論的可靠性。我對(duì)哲學(xué)有些喜歡，大概與此有關(guān)。
5、變化中的不變性
“變化中的不變性”是數(shù)學(xué)家特別喜歡的東西。我發(fā)現(xiàn)，要發(fā)現(xiàn)規(guī)律，其實(shí)就是要發(fā)現(xiàn)“變化中的不變性”。我做數(shù)據(jù)分析時(shí)，常常故意讓有些要素變化，看看某些特征是不是依然存在。用這種做法，我發(fā)現(xiàn)了很多規(guī)律。
6、嚴(yán)密與自洽
學(xué)過數(shù)學(xué)，思考問題的嚴(yán)密程度會(huì)增加。這是毋庸置疑的。搞數(shù)學(xué)的人，喜歡刨根問底，把道理想清楚。這個(gè)習(xí)慣，我畢業(yè)后一直保留著?，F(xiàn)在講人工智能和大數(shù)據(jù)的人中，有很多混混，缺乏科學(xué)頭腦。如果用這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，就很容易把“磚家”挑出來。
7、分類與變換
老師曾經(jīng)告訴我：從某種意義上說，數(shù)學(xué)就是分類。通過分類，可以借鑒過去的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)。分類的手段之一是變換：能變換到一起的就是一類。我研究技術(shù)創(chuàng)新、智能制造，發(fā)現(xiàn)人類的大量創(chuàng)新，其實(shí)就是對(duì)前人工作的借鑒和變換。
8、虛實(shí)穿越
實(shí)數(shù)空間解決不了的問題，在復(fù)數(shù)空間往往能解決，并可以把結(jié)果返回實(shí)數(shù)空間、解決實(shí)數(shù)空間的問題。人生中就有許多這種虛實(shí)變換。比如，現(xiàn)實(shí)的利益是“實(shí)”的，而人的信譽(yù)、能力和公信力是“虛”的。我常常不太在乎“實(shí)”的得失。因?yàn)槲抑溃涸凇皩?shí)”空間的失去的東西，會(huì)在“虛”的空間中體現(xiàn)出來，再返回現(xiàn)實(shí)世界。這就是所謂“吃虧是福”。
9、互為因果、反饋增強(qiáng)
世界的發(fā)展往往不是單向的因果關(guān)系推動(dòng)的，而是在互為因果的反饋中實(shí)現(xiàn)的。通過不斷的反饋和發(fā)展，世界可以很不一樣：宇宙、大自然和人類本身就是這么進(jìn)化過來的。我也知道，偉大的目標(biāo)不是一下子就能得到的，更應(yīng)該重視培養(yǎng)一個(gè)環(huán)境，促進(jìn)良性發(fā)展的過程。
10、確定性與不確定性
有些人士喜歡鉆牛角尖、追求確定性、絕對(duì)正確。我們做創(chuàng)新的人，沒有100%的確定性。過度追求確定性就沒有創(chuàng)新，必須要學(xué)會(huì)用概率思考。這樣我們就能理解：很多決策雖然結(jié)果是不好的，但在理性上卻是正確的決策；反之，過度理性的決策，未必能得到好的結(jié)果。同時(shí)，要想逼近確定性，需要花大量的時(shí)間去獲得信息——而實(shí)踐的過程，本質(zhì)上就是獲得信息的過程。這件事展開來，可以談到我對(duì)博弈和孫子兵法的理解。認(rèn)識(shí)了概率，在行動(dòng)上就不過度追求完美。特別地，我們往往那個(gè)必須在信息不完整的前提下做出決策。猶豫不決會(huì)貽誤戰(zhàn)役。從概率的意義上講，在關(guān)鍵時(shí)刻，做決策本身就比不做決策正確。
11、構(gòu)造條件
一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論能否成立，關(guān)鍵是給了什么前提條件。現(xiàn)實(shí)中，很多理想沒法實(shí)現(xiàn)，其實(shí)不是你的能力不夠，而是前提條件不滿足。這個(gè)時(shí)候，聰明人不會(huì)硬來。善于創(chuàng)新的人，會(huì)把很多的精力放在構(gòu)造條件上。這就叫做“退一步海闊天空”。
12、輔助線
困難的問題，加一條輔助線就完成了。加一條輔助線，本質(zhì)上是把論證和計(jì)算分成幾個(gè)部分。把困難的問題拆開來。我感覺，技術(shù)創(chuàng)新之難，往往在于“把登天的問題變成登山”的問題。這就是把問題分解。
13、從原點(diǎn)出發(fā)
數(shù)學(xué)系的很多題目，是讓我們從最基本的概念出發(fā)考慮問題。
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